Transmisión Digital Paso banda
En la transmisión digital pasobanda la señal digital modula a una señal portadora ( normalmente una función sinusoidal).
En el caso de transmisión paso banda o de señales de tiempo discreto moduladas, el canal puede ser un enlace de radio de microondas, una canal satélite …
La amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora pueden variar de acuerdo con la secuencia de datos dando lugar a los diferentes señalamientos:
-ASK señalamiento por desplazamiento de amplitud
-FSK señalamiento por desplazamiento en frecuencia
– PSK señalamiento por desplazamiento en fase.
Un modelo para la transmisión pasa banda:
Suponemos que existe una fuente de mensajes que emite símbolos pertenecientes a un alfabeto discreto de M símbolos cada T segundos. Las probabilidades a priori de estos símbolos especifican el mensaje de salida. En ausencia de información todos los símbolos tienen igual probabilidad.
Este mensaje es la entrada a un bloque que realiza la codificación de la señal para su transmisión. Produciendo un vector de N componentes reales ( con N<=M) por cada uno de los M símbolos del alfabeto fuente. Este vector de salida es la entrada al bloque modulador, la señal, de T segundos de duración, generada en el modulador es necesariamente de energía finita.
El canal de comunicación pasobanda conecta el transmisor con el receptor. Las características del canal son:
1. El canal es lineal y el ancho de banda es tal que puede transmitir a la señal modulada sin distorsión.
2. La señal transmitida se ve contaminada por ruido gausiano aditivo blaco (AWGN).
La tarea del receptor es observar la señal recibida durante T segundos . El primer bloque detector opera sobre la señal recibida para producir un vector de observaciones, el bloque decodificador realiza las estimaciones de los símbolos generados por la fuente en el transmisor.
Una condición que debe cumplir el receptor es que minimice la probabilidad promedio de símbolo erróneo.
Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt:
Este método de ortogonalización permite representar cualquier conjunto de M señales de energía (ya moduladas) como combinación lineal de N funciones base ortonormales (N<=M).
Descripción del procedimiento de Gram Schmidt:
Se define la función base ?1 como:
Cada señal si(t) queda especificada por un vector si cuyos N elementos son los coeficientes sij. El espacio euclídeo de N-dimensiones se denomina espacio de señales. Se puede definir la norma y el producto interno entre vectores de este espacio:
Proyección de la señal contaminada por ruido blanco gausiano sobre las funciones bases ortogonales:
X es una variable aleatoria que queda caracterizada por un vector de N componentes.
Cada componente del vector es a su vez una variable aleatoria gausiana de valor medio y varianza:
Las componentes del vector X son variables aleatorias no correlacionadas:
El vector X se denomina vector de observaciones, y cada uno de los elementos del vector se denomina elemento observable .
La función densidad de probabilidad condicional del vector X, cuando se transmite la señal si(t), correspondiente al símbolo mi , se puede expresar como el producto de las funciones densidad de probabilidad condicionales de sus elementos individuales como:
Estas funciones son la caracterización del canal y tambien se denominan funciones de transición del canal.
Detección Coherente se señales en ruido:
Se supone que en cada intervalo de tiempo de duración T sg. Se transmite una de las M posibles señales {s1(t)….. sM(t)} con igual probabilidad 1/M.
La señal si(t). Queda representada por un punto en el espacio ecuclídeo de dimensión N. A este punto se le denomina punto mensaje.
EL conjunto de puntos mensajes correspondientes a las señales transmitidas se les llama Constelación.
La señal recibida x(t) también queda representada por un punto del espacio euclídeo. A este punto se le denomina punto señal recibida.
Dado un vector de observaciones X, la detección consiste en a partir de X obtener una estimación m^ del símbolo transmitido mi , de modo que se minimice la probabilidad de error en el proceso de transmisión.
Decodificación de máxima probabilidad:
Suponiendo que todos los decodificadores son igualmente probables la decodificación de máxima probabilidad es una solución a este problema
Regla de decisión óptima: Máxima probabilidad a posteriori (MAP)
Esta regla se puede expersar, haciendo uso del teorema de Bayer, en términos de las probabilidades a priori de las señales transmitidas y de las funciones densidad de probabilidad:
pk es la probabilidad a priori del símbolo mk , fx (x|mk) es la función densidad de probabilidad condicional y fx(x) es independiente de la señal transmitida. Luego la regla MAP expresada en logaritmica natural:
El espacio de observaciones Z se divide en M regiones de decisión que se denominarán Z1….Zm . La regla MAP se puede expresar como sigue: Un vector de observaciones X pertenece a la región Zi si
El correspondiente vector de la métrica es:
Lo que lleva a redefinir la regla MAP: El vector de observaciones pertenece a la región Zi si la distancia euclídea ||x-sk|| es mínima para k=i
De donde se puede deducir la regla equivalente: Un vector X pertenece a la región Zi si
La probabilidad de error:
Recuperación Coherente en el receptor:
El receptor óptimo consiste en dos subsistemas:
1. Subsistema detector
?N(t)
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x(t)
(Gp:) ?1(t)
(Gp:) ?2(t)
(Gp:) x1
(Gp:) x2
xN
Decodificador de la señal transmitida:
(Gp:) Acumulador
(Gp:) Acumulador
(Gp:) Acumulador
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) X
(Gp:) s1
(Gp:) s2
(Gp:) sM
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) S
e
l
e
c
t
o
r
Detección de señales con fase desconocida, detección no coherente:
Hasta ahora se ha supuesto que el receptor tiene total conocimiento de la señal transmitida.
Se puede encontrar incertidumbre y aleatoriedad en algunos parámetros de la señal.
La principal causa de esta incertidumbre es la distorsión producida por el médio de transmisión.
Una causa muy frecuente es la transmisión sobre múltiples caminos de longitud variable. Esto causa una aleatoriedad en la fase de la señal portadora.
Por ejemplo, consideramos un sistema de comunicación digital en el cual se transmiten señales iguales de la forma:
Donde E es la energía de la señal, T es la duración del intervalo de señalización y la frecuencia fi es un múltiplo entero de 1/2T . No hay sincronización de fase entre el emisor y el receptor.
Si el canal es AWGN la señal recibida es de la forma:
La fase ? se considera tambien como una variable aleatoria unifórmemente distribuida entre 0 y 2? radianes.
El sistema de detección estudiado previamente no es útil para el caso de detección no coherente.
De forma intuitiva veamos las modificaciones necesarias en el receptor:
Si suponemos que las funciones ortonormales o correladores son de la forma
Métodos de Modulación sin memoria:
Señalamiento por desplazamiento de amplitud (ASK): También se le denomina PAM digital. La forma de onda de la señal es:
Am con 1<=m<=M denota el conjunto de M posibles amplitudes .
La energía de la señal es:
En este caso N=1, la función ?(t) es de la forma:
Y sm de la forma
Las correspondientes constelaciones de señales para M=2, M=4 y M=8 son:
0
1
00 01 11 10
000 001 011 010 110 111 101 100
Se pueden hacer dos observaciones:
El vector de señal tiene una única dimensión, que representa la amplitud de la señal.
Los puntos de la señal se seleccionan de manera simétrica respecto del origen.
La señal PAM modulada es una señal de banda lateral doble de modo que se requiere dos veces el ancho de banda requerido para la transmisión en banda base .
La asignación de bits se puede realizar de diferentes formas, una posible forma es aquella en la cual las amplitudes de las señales adyacentes difieren sólo en un bits. A este asignación se le denomina codificación Gray.
La distancia euclídea entre un par de puntos de señales es:
Señales moduladas en fase
En modulación digital de fase la onda de señal tiene la forma:
Donde g(t) es la forma del pulso y ?m =2?(m-1)/M son las M posibles fases de la portadora que contienen la información transmitida.
La energía de la señal es de la forma:
La señal modulada se puede representar como combinación de dos funciones ortonormales ?1 y ?2
La constelación de señales para M=2,4 y 8 es
0
1
10
00
01
11
011
001
000
100
101
111
110
010
Como en el caso ASK, la asignación de bits se puede hacer de diferentes formas, pero tambien se ha utilizado una codificación Gray.
La distancia euclídea entre los puntos de la señal es:
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